https://youtu.be/j0wJBEZdwLs?si=x4k6WGnJqVJMIPwl
기본적으로 모든 함수는 이런저런 지수함수 여러 개로 분해될 수 있다.
많고 많은 지수함수 중에서 대체 어떤 것을 골라야 하냐? 그걸 찾기 위해서 라플라스 변환을 쓴다. 라플라스 변환을 쓰면 대개 분수 형태가 나오는데 그 분모를 0으로 만들어서, 식 전체의 값이 0으로 만드는 값을 찾는 것이 해결책이다.
(사진으로 보자면 아래와 같다.)
라플라스 변환은 크게 두 부분으로 나뉜다.
먼저, 원래 함수에 e^(-st)를 곱한다.
이후, 시간에 대해 0부터 무한대까지 적분한다.
원함수의 매개 변수가 t였다면, 새로운 함수는 s를 사용한다.
s는 복소수라서 이렇게 복소 평면을 움직인다고 생각하면 된다.
f(t) = cos(t)를 예시로 생각해보자. cos(t)는 저렇게 1/2 * (e^it + e^(-it))로 분리된다. 그치만 이걸 어떻게 알겠는가?
오른쪽 그래프를 보면 s가 2i 근처일 때 e^(i-s)t가 어떻게 변하는지를 보여준다. 저런 식으로 감쇠진동을 한다.
그런데 s가 i라면 어떻게 될까?
지수가 0이 되어 항상 1이 된다!
그러니까 F(s)가 해당 지점에서는 적분했을 때 무한대가 되어 스파이크가 튄다.
그건 그렇고 갑자기 드는 의문,
애초에 복소수(가 들어간 함수를 어떻게 적분을 하는 거임? (s가 복소수니까)
그럼 먼저 s가 실수일 때 적분값을 계산하는 게 무슨 뜻인지 알아보자.
천리 길도 한 걸음부터니까 0~1까지 적분한 값 + 1~2까지 적분한 값 + 2~3까지 적분한 값 + ... 를 하면 된다.
그런데, n~n+1까지 적분한 값은 곧 n~n+1까지의 함숫값의 평균을 의미한다. (왜냐면 가로 길이가 1이기 때문)
그러니까 0부터 무한대까지의 적분값은 저렇게 생긴 벡터의 합이라고 볼 수 있다.
이제 s=2+1i를 상정하고 이와 똑같은 시도를 해보면, 먼저 0부터 1까지의 적분값은 위의 사진에서 보이는 벡터가 된다.
이걸 쭈루룩 반복한다.
완성!
s가 1이라면 이렇게 얌전히 오른쪽으로만 가서 적분값은 1이 나온다.
s값을 변화시켜가며 z축은 적분값으로 하여 3차원 그래프를 그리면 s가 원점에 가까울수록 값이 커지는 것을 볼 수 있다.
왜냐면 실수부가 (양수인 선에서) 작을수록 감쇠의 정도가 작아지기 때문이고, 허수부가 작을수록 덜 구부러지기 때문이다.
그렇다고 s의 실수부가 0이면 수렴도, 발산도 안 해서 진동한다. (s의 실수부가 음수면 물론 발산)
그나저나,
실수부가 음수인 부분은 애초에 정의 자체가 불가능하다고 했다. (왜냐면 값이 발산하기 때문이다.)
그런데 여기서 해석적 연속(Analytic Continuation)이라는 수학적 성질을 도입하면 어떻게 될까?
실수 함수의 경우 특정 구간에서만 정의된 함수가 있다고 했을 때 나머지 구간을 그리는 방법은 무수히 많다.
하지만,
복소 함수의 경우 특정 구간(위의 사진에서 파란색 부분)이 결정되면 이를 포함하는 전체(주황색 부분)은 수학적으로 존재하지 않거나, 있더라도 딱 하나만 존재한다. (왜냐면 내가 수학과가 아니라 모르겠음)
그래서 그래서,
오른쪽 절반 평면(실수부가 양수인 부분)에서 얻은 데이터만으로도 나머지 왼쪽 평면의 값을 수학적으로 완벽하고 유일하게 채워 넣을 수 있다!
요렇게 왼쪽 부분도 그릴 수 있고, 극값이 발생하는 부분도 찾을 수 있다.
이제 다시 보자.
f(t)=1 꼴의 가장 간단한 함수를 집어넣으면 라플라스 변환을 했을 때 요렇게 단순하게 나온다.
f(t) = e^(at) 도 이렇게 단순하게 나온다.
f(t)=cost(t)는 이렇게 단순한 수식으로 풀 수 있다. 그러니 s=-i, i 이렇게 두 지점에서 극값이 나온다.
넘 예쁨
이걸 직접 활용하는 거는 다음 글에서 다룰 것이다!
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한국은행 들어갈 때까지만 합니다
