용수철의 불규칙한 초기 움직임, 라플라스 변환으로 해석하기

https://youtu.be/FE-hM1kRK4Y?si=5z-T4MAFTlIY0TNN

 

 

그래서 미분 방정식을 풀기 어려우면 이걸 라플라스 변환을 사용한다. 요소들이 지수 함수로 쪼개졌기 때문에 미분하는 게 아주 쉬워진다. 그래서 여기서 해를 구한 다음 다시 라플라스를 반대로 돌리면 원래 함수의 미분 방정식을 쉽게 풀 수 있다.

 

 

바로 이것!

 

예시를 볼 것이다.

 

 

댐핑이 있는 용수철의 움직임은 첫 번째 줄과 같이 쓸 수 있다. 그걸 라플라스 변환을 하면 두 번째 줄로 나온다.

초기 속도와 위치를 0으로 두면 아래처럼 간단하게 식이 바뀐다.

 

 

분모가 0이 되게 하는 s를 찾으면 된다!

분모는 두 가지 개념이 합쳐진 것이다. 먼저,

 

 

오른쪽의 다항식은 라플라스 변환을 하지 않은 원함수와 아주 유사한 상태다. 이건 이 자체로 댐핑이 들어간 용수철의 움직임을 반영한 것이다. 그리고,

 

 

왼쪽의 다항식은 코사인 함수처럼 왔다갔다 진동하는 외력의 움직임을 보여준다. 그리고 둘 중에서 이 외력이 용수철 전체의 움직임을 더욱 좌지우지한다.

 

 

그래서 초반에는 댐핑이 들어간 용수철 자체의 움직임의 영향력이 유의미하기 때문에 불규칙적인 움직임이 나타나지만, 그게 점점 줄어들면 외력으로 생기는 움직임이 선명하게 드러난다.

 

 

바로 이렇게 말이다!